Siteswaps
Trudno zajmowa� si� matematyk� nie znaj�c podstaw j�zyka matematyki. Mo�na pr�bowa�, ale w pewnym momencie bez znajomo�ci poj�� trudnym staje si� rozmawianie o matematyce. Podobnie, cho� nie identycznie jest z �onglowaniem.
Tak samo jak w matematyce by�o co najmniej kilka r�nych podej�� do sformu�owania j�zyka, w �onglowaniu powsta�o kilka notacji opisu figur �onglerskich. Znajomo�� �adnej z nich nie jest niezb�dna w �onglowaniu, ale mocno u�atwia nauk� i wymian� informacji pomi�dzy �onglerami. W moim artykule o nauce mill's messa 4 pi�kami zak�adam znajomo�� czytelnika notacji siteswap.
O tej w�a�nie notacji prawi ten artyku�.
tak z grubsza, po co? (bajka - mo�na pomin��)
W zamierzch�ych czasach �ongler Prehisteryk potrafi� �onglowa� 7 pi�kami. Potrafi� wyrzuci� jedn� w g�r� �onglowa� przez chwile 6 pi�kami i wr�ci� do �onglowania 7 pi�kami. Za bardzo nie wiedzia� jak to si� dzia�o, ze pi�ki si� nie zderzaj� - opanowa� ten trik po d�ugich latach �wicze�.
W 20-tym wieku archeolodzy odkryli szcz�tki Prehisteryka i odkryli ze potrafi� podrzuca� z 7 pi�ek jedna do g�ry �onglowa� przez chwile 6-ma i wr�ci� z powrotem do �onglowania 6 pi�kami. Zacz�li zastanawia� si� nad problemami takimi jak: Czy prehisteryk potrafi� �ongluj�c 7ma wyrzu� dwie pi�ki wysoko, �onglowa� 5ma i potem znowu 7ma. a czy potrafi� wyrzuci� jedna wysoko. �ongluj�c 6ma wyrzuci� jedna ni�ej. przez chwile 5ma, jak spadla kolejna 6-ma i jak kolejna to znowu 7ma? Jak powinien by� wykonywa� te triki, �eby pi�ki mu si� nie pozderza�y.
Zacz�li si� zap�tla� w tych pytaniach i gubi�. Wtedy dopiero wpadli na pomys�, �eby zg�osi� si� z problemem do matematyka, kt�ry szybko wymy�li� prost� notacj� zapisu figur �onglerskich pozwalaj�cych w klarowny spos�b definiowa� takie triki jak te, kt�rymi zajmowa� si� Prehisteryk.
Prehisteryk - trik 7 pi�kami
tak z grubsza co to, czyli troch� idei
Je�li interesuje ci� �cis�a definicja tego czym jest siteswap pomi� ten punkt.
Na razie nie bardzo wg��biaj�c si� w dok�adne opisy przypatrzmy si� kilku przyk�adom.
Oto jak wygl�da �onglowanie 3 pi�kami, oraz 5 ma.
Teraz wyobra�my sobie �onglera, kt�rego prawa r�ka �ongluje tak jakby 5 pi�kami, a lewa jakby trzema. Nasza wyobra�nia powinna stworzy� taki obraz: 53 . Poniewa� jest to w po�owie 3 pi�ki a w po�owie 5 nazwijmy ten trik 35 (albo zamiennie 53). Jest to trik na 4 pi�ki.
Idea stoj�ca za siteswapami jest taka, ze okre�limy trik ci�giem liczb oznaczaj�cym czas lotu kolejnych pi�eczek. Istnieje prosta zale�no�� pomi�dzy czasem lotu a wysoko�ci�, na kt�r� nale�y wyrzuci� pi�eczk� (w przyk�adzie 3 jest du�e ni�ej ni� 5).
troch� dok�adniej, co to
Formalnie okre�limy siteswap jako ci�g liczb naturalnych a_1, a_2,..., a_n spe�niaj�cy w�asno��: dla wszystkich par ro�nych i,j z (1,...,n) zachodzi (a_i + i - a_j - j) nie jest wielokrotno�ci� n(0 oczywi�cie jest wielokrotno�ci� n).
Jak to si� ma do �onglowania?
Wyobra�my sobie idealnego �onglera. W idealnym modelu �onglowania �ongler wyrzuca i �apie pi�ki na zmian� raz z jednej reki raz z drugiej w idealnie r�wnych odst�pach czasu. Czas pomi�dzy dwoma wyrzutami okre�limy uderzeniem (lub rytmem). Ka�dej wyrzuconej pi�ce nadajemy warto�� oznaczaj�c� ilo�� udzerze� (rytm�w), jakie up�yn� zanim ta pi�ka zostanie po raz kolejny wyrzucona. Siteswap to taki ci�g liczb, kt�ry opisuje jaki� spos�b �onglowania przez naszego idealnego �onglera. W�asno�� ci�gu liczb zapisana powy�ej m�wi, ze dwie pi�ki nie mog� wy�adaowac w tym samym momencie, czyli ze zawsze w jednej r�ce jest tylko jedna pi�ka.
Zauwa�my, �e je�eli �ongler �ongluje w normalny spos�b k pi�kami to ka�da pi�ka jest wyrzucana ponownie dok�adnie po k uderzeniach. Dlatego ci�g opisuj�cy �onglowanie k pi�kami w normalny spos�b to kkkkkkkkkkkk... W skr�cie siteswapy zapisujemy jako ich najkr�tszy powtarzaj�cy si� kawa�ek. tutaj jest to k.
Zwr��my uwag�, ze wyrzucenie 1 spowoduje podanie pi�ki do przeciwnej reki(pi�ka musi zosta� wyrzucona w nast�pnym wyrzucie z drugiej reki), 2 pozostanie pi�ki w tej samej r�ce(wyrzucenie za dwa uderzenia, wiec z tej samej reki) itd.. Ciekawym i istotnym spostrze�eniem jest to, ze wyrzut o nieparzystej warto�ci spowoduje wyrzucenie pi�ki do przeciwnej reki, a wyrzut parzysty do tej samej.
Przyk�ady siteswap�w
Pierwszymi przyk�adami siteswap�w s� wspomniane juz wy�ej 3,5 oraz 53. oto inne: 51, 4, 441, 531, 744, 633, 423, 534, 7131. siteswapem nie jest ci�g 754 (narusza wymagana w�asno�� - wyrzuty 5 i 4 spowoduje spadniecie dw�ch pi�ek jednocze�nie.)
pare wla�ciowo�ci - tylko dla matematyk�w
Poni�ej prezentuje kilka w�asno�ci bez dowod�w, kt�re pozostawiam jako proste �wiczenia dla czytelnika.
1. je�li ci�g a_1,..,a_i,..,a_j,..,a_n jest poprawnym siteswapem to ci�g a_1,...,a_(i-1), a_j + j - i,a_(i+1),...,a_(j-1), a_i + i - j,a_(j+1),...,a_n tez jest poprawnym siteswapem, o ile a_i + i - j jest nieujemne
2. je�li ci�g a_1,a_2,..,a_n jest poprawnym siteswapem to ci�g a_1+1, a_2+1,..., a_n+1 tez jest poprawnym siteswapem.
3. je�li ci�g a_1,..,a_i,...,a_n jest poprawnym siteswapem to ci�g a_1,...,a_i+n ,...,a_n tez jest poprawnym siteswapem.
4. je�li ci�g a_1,..,a_n jest poprawnym siteswapem na k pi�ek to a_1+a_2+...+a_n = k*n
5. je�li ci�g a_1,...,a_n jest poprawnym siteswapem to ci�g a_2, a_3,..., a_n, a_1 tez jest poprawnym siteswapem.
6. je�li ci�g a_1,...a_n jest poprawnym siteswapem na k pi�ek to mo�na go otrzyma� przekszta�caj�c ci�g k,k,..,k u�ywaj�c tylko zasady 1.
Autor opracowania: Kuba Straszewski.
Inne artyku�y:
- kaskada 3 pi�kami
- fontanna 4 pi�kami
- kaskada 5 pi�kami