Siteswaps
Trudno zajmować się matematyką nie znając podstaw języka matematyki. Można próbować, ale w pewnym momencie bez znajomości pojęć trudnym staje się rozmawianie o matematyce. Podobnie, choć nie identycznie jest z żonglowaniem.
Tak samo jak w matematyce było co najmniej kilka różnych podejść do sformułowania języka, w żonglowaniu powstało kilka notacji opisu figur żonglerskich. Znajomość żadnej z nich nie jest niezbędna w żonglowaniu, ale mocno ułatwia naukę i wymianę informacji pomiędzy żonglerami. W moim artykule o nauce mill's messa 4 piłkami zakładam znajomość czytelnika notacji siteswap.
O tej właśnie notacji prawi ten artykuł.
tak z grubsza, po co? (bajka - można pominąć)
W zamierzchłych czasach żongler Prehisteryk potrafił żonglować 7 piłkami. Potrafił wyrzucić jedną w górę żonglować przez chwile 6 piłkami i wrócić do żonglowania 7 piłkami. Za bardzo nie wiedział jak to się działo, ze piłki się nie zderzają - opanował ten trik po długich latach ćwiczeń.
W 20-tym wieku archeolodzy odkryli szczątki Prehisteryka i odkryli ze potrafił podrzucać z 7 piłek jedna do góry żonglować przez chwile 6-ma i wrócić z powrotem do żonglowania 6 piłkami. Zaczęli zastanawiać się nad problemami takimi jak: Czy prehisteryk potrafił żonglując 7ma wyrzuć dwie piłki wysoko, żonglować 5ma i potem znowu 7ma. a czy potrafił wyrzucić jedna wysoko. żonglując 6ma wyrzucić jedna niżej. przez chwile 5ma, jak spadla kolejna 6-ma i jak kolejna to znowu 7ma? Jak powinien był wykonywać te triki, żeby piłki mu się nie pozderzały.
Zaczęli się zapętlać w tych pytaniach i gubić. Wtedy dopiero wpadli na pomysł, żeby zgłosić się z problemem do matematyka, który szybko wymyślił prostą notację zapisu figur żonglerskich pozwalających w klarowny sposób definiować takie triki jak te, którymi zajmował się Prehisteryk.
Prehisteryk - trik 7 piłkami
tak z grubsza co to, czyli trochę idei
Jeśli interesuje cię ścisła definicja tego czym jest siteswap pomiń ten punkt.
Na razie nie bardzo wgłębiając się w dokładne opisy przypatrzmy się kilku przykładom.
Oto jak wygląda żonglowanie 3 piłkami, oraz 5 ma.
Teraz wyobraźmy sobie żonglera, którego prawa ręka żongluje tak jakby 5 piłkami, a lewa jakby trzema. Nasza wyobraźnia powinna stworzyć taki obraz: 53 . Ponieważ jest to w połowie 3 piłki a w połowie 5 nazwijmy ten trik 35 (albo zamiennie 53). Jest to trik na 4 piłki.
Idea stojąca za siteswapami jest taka, ze określimy trik ciągiem liczb oznaczającym czas lotu kolejnych piłeczek. Istnieje prosta zależność pomiędzy czasem lotu a wysokością, na którą należy wyrzucić piłeczkę (w przykładzie 3 jest duże niżej niż 5).
trochę dokładniej, co to
Formalnie określimy siteswap jako ciąg liczb naturalnych a_1, a_2,..., a_n spełniający własność: dla wszystkich par rożnych i,j z (1,...,n) zachodzi (a_i + i - a_j - j) nie jest wielokrotnością n(0 oczywiście jest wielokrotnością n).
Jak to się ma do żonglowania?
Wyobraźmy sobie idealnego żonglera. W idealnym modelu żonglowania żongler wyrzuca i łapie piłki na zmianę raz z jednej reki raz z drugiej w idealnie równych odstępach czasu. Czas pomiędzy dwoma wyrzutami określimy uderzeniem (lub rytmem). Każdej wyrzuconej piłce nadajemy wartość oznaczającą ilość udzerzeń (rytmów), jakie upłyną zanim ta piłka zostanie po raz kolejny wyrzucona. Siteswap to taki ciąg liczb, który opisuje jakiś sposób żonglowania przez naszego idealnego żonglera. Własność ciągu liczb zapisana powyżej mówi, ze dwie piłki nie mogą wyładaowac w tym samym momencie, czyli ze zawsze w jednej ręce jest tylko jedna piłka.
Zauważmy, że jeżeli żongler żongluje w normalny sposób k piłkami to każda piłka jest wyrzucana ponownie dokładnie po k uderzeniach. Dlatego ciąg opisujący żonglowanie k piłkami w normalny sposób to kkkkkkkkkkkk... W skrócie siteswapy zapisujemy jako ich najkrótszy powtarzający się kawałek. tutaj jest to k.
Zwróćmy uwagę, ze wyrzucenie 1 spowoduje podanie piłki do przeciwnej reki(piłka musi zostać wyrzucona w następnym wyrzucie z drugiej reki), 2 pozostanie piłki w tej samej ręce(wyrzucenie za dwa uderzenia, wiec z tej samej reki) itd.. Ciekawym i istotnym spostrzeżeniem jest to, ze wyrzut o nieparzystej wartości spowoduje wyrzucenie piłki do przeciwnej reki, a wyrzut parzysty do tej samej.
Przykłady siteswapów
Pierwszymi przykładami siteswapów są wspomniane juz wyżej 3,5 oraz 53. oto inne: 51, 4, 441, 531, 744, 633, 423, 534, 7131. siteswapem nie jest ciąg 754 (narusza wymagana własność - wyrzuty 5 i 4 spowoduje spadniecie dwóch piłek jednocześnie.)
pare wlaściowości - tylko dla matematyków
Poniżej prezentuje kilka własności bez dowodów, które pozostawiam jako proste ćwiczenia dla czytelnika.
1. jeśli ciąg a_1,..,a_i,..,a_j,..,a_n jest poprawnym siteswapem to ciąg a_1,...,a_(i-1), a_j + j - i,a_(i+1),...,a_(j-1), a_i + i - j,a_(j+1),...,a_n tez jest poprawnym siteswapem, o ile a_i + i - j jest nieujemne
2. jeśli ciąg a_1,a_2,..,a_n jest poprawnym siteswapem to ciąg a_1+1, a_2+1,..., a_n+1 tez jest poprawnym siteswapem.
3. jeśli ciąg a_1,..,a_i,...,a_n jest poprawnym siteswapem to ciąg a_1,...,a_i+n ,...,a_n tez jest poprawnym siteswapem.
4. jeśli ciąg a_1,..,a_n jest poprawnym siteswapem na k piłek to a_1+a_2+...+a_n = k*n
5. jeśli ciąg a_1,...,a_n jest poprawnym siteswapem to ciąg a_2, a_3,..., a_n, a_1 tez jest poprawnym siteswapem.
6. jeśli ciąg a_1,...a_n jest poprawnym siteswapem na k piłek to można go otrzymać przekształcając ciąg k,k,..,k używając tylko zasady 1.
Autor opracowania: Kuba Straszewski.
Inne artykuły:
- kaskada 3 piłkami
- fontanna 4 piłkami
- kaskada 5 piłkami